展开全文数学问题的探究遵循“特殊、一般、特殊”的探究规律．从特殊问题中，寻求解决问题的方法、策略，将在解决特殊问题中的方法推广到一般的问题，从而完善“一般”问题的解决方案．人类认识问题的首先从简单的问题入手，在解决简单问题的过程中，总结解决问题的方法，进而解决比较复杂的问题．一、本讲主要学习探究数学问题的主要方法：“特殊、一般、特殊”的探究方法；数学中的许多问题是通过对具体问题的探究，总结出探究的规律和方法，进而推出更具有一般性的规律，这就是数学中重要的探究方法“一般、特殊、一般”的探究方法．重要知识点：1．代数问题的探究；2．几何问题的探究；二、探究解析（一）、代数问题的探究【例1】大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，例如：2^3=3+5，3^3=7+9+11，4^3=13+15+17+19，5^3=21+23+25+27+29，6^3=31+33+35+37+39+41，……，提出问题：对于大于1的正整数m的三次幂可分解成m个连续正奇数的和，如何分解？解决问题：利用探究的规律分解2012^3、2013^3；【点拨】探究问题的方法：能否从特殊的正整数的三次幂的分解中找到规律？即从“特殊”到“一般”．如何将“一般”的结论应用到具体的数字中？【反思与小结】问题的探究主要方法是利用“一般、特殊、一般”的思想方法，通过对具体问题的探究总结出一般性的规律，应用一般性的规律解决具体的问题。本例通过对、、、、分解形式的探究总结出对于奇数如何分解？对于偶数如何分解？从而解决、的分解形式的问题。【例2】观察下列等式：12×231=132×21，13×341=143×31，23×352=253×32，34×473=374×43，62×286=682×26，…以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：①52×=×25；②×396=693×．（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．【点拨】能否通过所给等式总结出一般规律？如何应用一般规律解决问题？【反思与小结】对于所给数字的规律，一般通过不完全归纳法总结出一般规律后，再利用“数字字母化”进行验证与证明。【例3】日常生活中经常遇到“比赛”、“握手”等一些列有关的问题．如：某系统有个单位要组织一场篮球比赛，每个单位派出一支队伍，而且只派出一支队伍，通过单循环比赛（即每两个参赛球队之间都要进行一场比赛而且只进行一场比赛），①问该系统在这次比赛中要安排多少场比赛？②如果该系统有20个单位要安排多少场比赛？③如果该系统共安排了91场比赛，这个系统有多少个单位？【点拨】思考一：如果有1个的单位，安排多少场比赛？如果有2个的单位，安排多少场比赛？如果有3个的单位，安排多少场比赛？如果有4个的单位，安排多少场比赛？……思考二：球队中任何一个球队要比赛多少场？通过不完全归纳法总结出个球队需要比赛多少场？思考三：类比“数线段的方法”进行解答？【反思与小结】解决此类的策略是先“退”后“进”。“退”到最原始状态，通过有0个球队、1个球队、2个球队、…从而总结规律，再应用于具体的问题中。【例4】如图，一枚棋子放在七角棋盘的第0号角，现依逆时针方向移动这枚棋子，其各步依次移动1，2，3，…，n个角，如第一步从0号角移动到第1号角，第二步从第1号角移动到第3号角，第三步从第3号角移动到第6号角，…．若这枚棋子不停地移动下去，①第2013步移动到第几号角？②找出第步移动到第几号角？③某同学说第步移动到第5号角，则该同学说的是否有错？为什么？④是否有永远不能够达到的角？如果有，有几个角永远无法达到？⑤如果是九角棋盘，从第0号角，开始按照上述规则进行移动，是否有永远不能够达到的角？如果有，有几个角永远无法达到？【点拨】能否通过第1步、第2步、第3步、第4步、……停留的角总结出规律？【反思与小结】通过从最简单的状态寻找到永远不能停留的角，从而找出规律，利用规律解答问题。(二)、几何问题中的探究【例5】探究三角形一个角的内角平分线与另一个角的外角平分线相交所组成的角与三角形内角之间的关系（1）在△ABC中，∠BAC=60°，D在BC的延长线上，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，求∠E的度数【点拨】能够利用代数计算的方法求解？如何求解？【反思与小结】对于三角形中求角度的问题，一般是通过“设而不求”的方法求解。先用一个字母表示三角形的一个未知角的角度，用这个字母表示出其他未知角的角度，通过计算求解。本例可以通过列“等式”的方法或者“设而不求”的方法解答。（2）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠BC的平分线与∠CD的平分线交于点．设∠A=x①∠A1=　；∠A2=；∠A3=；②直接写出∠An=；③如果∠A=x，其中x为正整数的度数，∠An也是正整数的度数，则n的最大值是多少？此时∠A=x是多少度？【点拨】能否利用三角形内角和的有关定理求出∠A1=　；∠A2=；∠A3=；进而找到规律，求出∠An=；对于（3）思考对于为正整数的度数，∠An也是正整数的度数，容易得出在0°—180°中求出的最大值和的度数．【反思与小结】对于几何中的探究问题，首先尽可能地画出图形，根据具体图形进行探究。本例是根据图形和三角形内角和和外角的定理进行探究。【例6】问题提出：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(m＋n)个点作为顶点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：探究一：以△ABC为例：△ABC内部点的个数、△ABC以及内部点个数、分成不重叠的三角形个数探究二：以四边形ABCD为例：四边形ABCD内部点的个数、四边形ABCD以及内部点个数、分成不重叠的三角形个数探究三：以五边形ABCDE为例：五边形ABCDE内部点的个数、五边形ABCDE以及内部点个数、分成不重叠的三角形个数探究四：以n边形为例：n边形ABCDE内部点的个数、n边形ABCDE以及内部点个数、分成不重叠的三角形个数总结提升：n边形以及内部有m个点，共（m+n）个点，这将n边形分成不重叠的三角形______________个；【反思与小结】对于复杂问题中探究，先从最基本的问题开始思考。本例从三角形、四边形、五边形逐步过度到边形内部有个点情形，通过不完全归纳法得出结论。【例7】探究角星的内角和（其中为正整数）三角中三个角的和；如图1，求∠A+∠B+∠C；如图2，五角星中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E；如图3，七角星中七个角的和；求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G；如图4：十一角星中十一个角的和；求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠J+∠K；【反思与小结】通过对三角星、五角星、七角星的内角和的探究，作出猜想，再利用内角和定理和外角定理进行验证与证明。从而判断猜想的正确与错误。三、积累与总结数学探究题一般是开放性的问题，解答探究问题的方式主要是应用“特殊、一般、特殊”的数学思想逐步探究。本讲通过经历简单探究问题的探究过程，体会数学思想方法的应用。数学思想方法是指导我们解决数学问题的关键，也是我们数学素养的体现，在平时学习和练习中，要有意识的培养自己的数学思想方法，不断提高我们解决问题的能力。