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一、两个求和公式：（可用归纳法证明） （1）Σ(i=1…n)i(i+1)……(i+k) =n(n+1)……(n+k+1)/(k+2) （2）Σ(i=1…n)1/[i(i+1)……(i+k)] ={1/k!-1/[(n+1)……(n+k)]}/k 二、组合法证明公式(1)： ∵ Σ(i=1…n)C(i+k,i-1)=C(1+k,0)+C(2+k,1)+……+C(n+k,n-1) =C(2+k,0)+C(2+k,1)+ … … +C(n+k,n-1) =C(3+k,1)+C(3+k,2)+ … … +C(n+k,n-1) = … … … … … … =C(n+k,n-2)+C(n+k,n-1) =C(n+k+1,n-1) ∴将等式两边同乘(k+1)!，化简得公式(1)。 三、拆项法证明公式(2)： ∵a(i,k)=1/[i(i+1)……(i+k)] ={1/[i(i+1)……(i+k-1)-1/[(i+1)……(i+k)]}/k =[a(i,k-1)-a(i+1,k-1)]/k ∴Σ(i=1…n)1/[i(i+1)……(i+k)] =[a(1,k-1)-a(n+1,k-1)]/k ={1/k!-1/[(n+1)……(n+k)]}/k 四、拆项法证明公式(1)： ∵a(i,k)=i(i+1)……(i+k) =[i(i+1)……(i+k+1)-(i-1)i(i+1)……(i+k)]/(k+2) =[a(i,k+1)-a(i-1,k+1)]/(k+2) ∴Σ(i=1…n)1/[i(i+1)……(i+k)] =[a(n,k+1)-a(0,k+1)]/(k+2) =n(n+1)……(n+k+1)/(k+2). |
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