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2017中考数学题及答案2018年上海中考数学第25题的分析，圆的出题方式总会出乎你的意料

长河网 • 2019-06-11 20:12:19 • 初中 • 阅读 14
展开全文【题目】（2018·上海）已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．（1）如图1，如果AC=BD，求弦AC的长；（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；（3）联结BC、CD、DA，如果
展开全文【题目】（2018·上海）已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．（1）如图1，如果AC=BD，求弦AC的长；（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积．【答案】解：（1）∵OD⊥AC，∴弧AD=弧CD，∠AFO=90°，又∵AC=BD，∴弧AC=弧BD，即弧AD+弧CD=弧CD+弧BC，∴弧AD=弧BC，∴弧AD=弧CD=弧BC，∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，∵AB=2，∴AO=BO=1，∴AF=AOsin∠AOF=1×√3/2=√3/2，则AC=2AF=√3；思路：利用弦、弧、角之间的关系，得到等量关系。连接OC，易得∠AOD=∠COD=1/2∠AOC=1/2∠BOD。易得结论。（温馨提示：第一题也有另外一种方法，但是过程会相对复杂一些，我们可以连接AD、BC，证明三角形ADB和三角形ACB全等，得到角DAB等于角CAB，接着再证明三角形ADE和三角形BCE相等，得到角DAB等于角CAE，所以角EAB等于角EBA，再根据OD垂直AC，可得到BO//AC，所以角ODB等于角EBA，也等于角CBD，最终可得到角CAB等于30度，根据30度直角三角形的性质可解出AC等于根号3）（2）如图1，连接BC，∵AB为直径，OD⊥AC，∴∠AFO=∠C=90°，∴OD∥BC，∴∠D=∠EBC，∵DE=BE、∠DEF=∠BEC，∴△DEF≌△BEC（ASA），∴BC=DF、EC=EF，又∵AO=OB，∴OF是△ABC的中位线，设OF=t，则BC=DF=2t，∵DF=DO﹣OF=1﹣t，∴1﹣t=2t，解得：t=1/3，则DF=BC=2/3、AC=√(AB²-BC²)=√(2²-(2/3)²)=(4√2)/3，∴EF=1/2FC=1/4AC=√2/3，∵OB=OD，∴∠ABD=∠D，则cot∠ABD=cot∠D=DF/EF=(2/3)/(√2/3)=√2；思路：中点中位线，连接BC，易得OF=1/2BC，根据E为BD的中点，易得OF=1/2BC=1/2DF，进而求出OF和DF等线段的长度，再得出结论。连接OE，AD也可得到中位线，再利用△AFD∽△EFO易得类似结论。（温馨提示：各位喜欢猜题的小伙伴，你们总会以为考试给的图形就一定是靠谱的，但是看看这个图形，三角形DEF和三角形BEC是全等的，由此可得不要太相信图形，掌握知识才是关键）（补充：cot叫做余切，它与正切互为倒数，它表示的是邻边与对边的比值）（3）如图2，∵BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，∴∠BOC=360/n、∠AOD=∠COD=360/(n+4)，则360/n+2×360/(n+4)=180，解得：n=4，∴∠BOC=90°、∠AOD=∠COD=45°，∴BC=AC=√2，∵∠AFO=90°，∴OF=AOcos∠AOF=√2/2，则DF=OD﹣OF=1﹣√2/2，∴S△ACD=1/2AC·DF=1/2×√2×（1﹣√2/2）=(√2-1)/2．思路：正方形的外接圆的中心角为360°/n。利用该关系得到∠BOC和COD、∠AOD的大小。易得△ADC为顶角135°的等腰三角形，作腰上的高即可得出想要的结论。结语：（这道压轴题的难度不是太大，但是也不简单，运用到的解题方法还是比较灵活，比如第一题，我们平常比较少用到用弧长来证明角相等，但是这里就用到了，第三小题的考查结合了多边形内角和的知识点，所以，总的来说，这道题目的蕴含的知识点还是挺多的，同学们做完要多总结，多吸收，希望这道题对你们会有一定的帮助。）今天是高考的日子，也祝愿所有高三的学生恩能够旗开得胜，马到成功，加油。

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