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函数的凸凹性函数的凸凹问题

长河网 • 2019-01-23 11:01:34 • 高中 • 阅读 40
函数的凸凹性是大学的知识,在高中课程标准以及教材上没有出现,但是习题中的凸凹可能会以擦边球的形式出现。小题经常以画图来解决,但是大题必须有严格的说明,所以有必要用导数的方法对函数的凸凹加以初步认识.　　首先我们来看一下大学教材上的凸凹定义：
　　函数的凸凹性是大学的知识,在高中课程标准以及教材上没有出现,但是习题中的凸凹可能会以擦边球的形式出现。小题经常以画图来解决,但是大题必须有严格的说明,所以有必要用导数的方法对函数的凸凹加以初步认识.　　首先我们来看一下大学教材上的凸凹定义：　　这个定义估计很多同学看不懂，但是如果将λ改成1/2，得到：　　相信所有同学都看过上述的式子，这两个式子是我们非常熟悉的，很多教师也把这个作为凸凹的定义，虽然从上述定义上来说不够完整的，但实际上已经足够了（证明略），而且通过画图也能够形象地了解凸凹，如图所示：凸函数凹函数　　有的参看书也把第一个图称为下凸函数，第二个图称为上凸函数.这个名称不重要，重要的是通过上述两个式子，你能马上描绘出这个图象的特征.　　现通过二次、反比例、指数、对数、三角等基本初等函数来验证上面的式子：　　我们可以通过上述五个函数的图象很清楚地看出凸凹性.　　下面我们来看一道高考题：　　f(x)是三个凸函数相加得到的，所以证明方法如下：　　这道题是三个基本初等函数的和，万一不是怎么办？所以我们必须寻找更一般的方法，观察如下图象：　　我们不去探索这个的证明过程，但是由此给我们提供了一个解决以上问题的一个更加简洁的方法．　　以一个初等函数为例：　　该证明过程实际上给了这类问题的一个模板．　　现在我们来看一道非初等函数的问题：　　显然这个利用初等函数的方法会比较麻烦，但是类比上述的模板，可得：　　最后给大家一道题去练练：

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