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将一个等边三角形分割等边三角形及形内点构图，旋转是技巧，分割是通法，解读精炼12题

长河网 • 2019-08-13 15:21:31 • 大课堂 • 阅读 4
展开全文H12.点P在等边△ABC内部，且PA=6，PB=8，PC=10，求：（1）△PBC的面积；（2）以等边三角形的边长a为边长的正方形的面积。思路：1.等边△ABC被3个三角形所填充：△PAB，△PAC，△PBC，所以等边三角形ABC
展开全文H12.点P在等边△ABC内部，且PA=6，PB=8，PC=10，求：（1）△PBC的面积；（2）以等边三角形的边长a为边长的正方形的面积。思路：1.等边△ABC被3个三角形所填充：△PAB，△PAC，△PBC，所以等边三角形ABC的面积等于这3个三角形面积之和；2.将△PAB绕点B顺时针旋转60°，得到△DBC，△DBC与△PBC组成四边形BDCP；3.四边形BDCP又可以视为△PCD与△PBD构成的；4.可以判断：△PBD为等边三角形，△PDC为直角三角形；5.可以得到△DBC中∠BDC=150°，进而求出其高和面积；6.△PBC的面积=四边形BDCP的面积-△DBC的面积；7.同理可以求出△PAB和△PAC的面积；8.等边△ABC的面积=△PAB的面积+△PAC的面积+△PBC的面积，同时等边△ABC的面积=1/2a^2sin60°；9.建立方程，即可求出a的平方；10.正方形的面积=a的平方。实际操作：（1）将△PAB绕点B顺时针旋转60°，得到△DBC，（如下图）连接PD，显然△PAB≌DCB，因而BP=BD，∠PBD=60°，所以△PBD是等边三角形，∠PDB=60°，即PD=PB=8，PA=DC=6，PC=10，PD^2+DC^2=64+36=100,PC^2=100,所以PD^2+DC^2=PC^2,所以△PDC为直角三角形，∠PDC=90°，在△BDC中，∠BDC=90°+60°=150°，作CE⊥BD的延长线，垂足为E，在Rt△CDE中，∠CDE=180°-150°=30°，DC=6，则CE=1/2DC=3，所以△BDC的面积=1/2BD×CE=12，Rt△PDC的面积=1/2PD×CD=24，等边△PBD的面积=1/2PB^2sin60°=16√3，四边形BDCP的面积=24+16√3，四边形BDCP的面积=△BDC的面积+△PBC的面积，则24+16√3=12+△PBC的面积，所以△PBC的面积=12+16√3，△PAB的面积=△BDC的面积=12。（2）同理求出△PAC的面积=9√3，等边△ABC的面积=△PAB的面积+△PAC的面积+△PBC的面积，=12+9√3+12+16√3=24+25√3，又等边△ABC的面积=1/2a^2sin60°，所以√3/4a^2=24+25√3，解得正方形的面积=a的平方=4(75+24√3)/3。综述：1.本题有较强的技巧性，过程较为繁琐。抓住60°，利用旋转变换，等到等边三角形和直角三角形，以及由这两个三角形组合而成的四边形；利用上述四边形的两条对角线，重新分割成两个三角形；四边形的面积可求，两种方式分割而成4个三角形的面积，有3个可求，1个未知即为所求。2.本题考查的知识点：旋转变换，全等，勾股定理逆定理，三角形的面积，等边三角形的边长与其面积的关系，正方形的面积，割补法求面积，方程，分母有理化，特殊角的三角函数值，钝角三角形的高的画法等。

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