一、证明相似三角形常见的几种类型1、\'A\'字型如图所示，在△ABC中，若DE∥BC，则有△ADE∽△ABC。2、\'A\'\'型如图所示，△ADE和△ABC有公共角∠A，若还有一组对应角相等，则有△ADE∽△ABC。3、\'8\'字型如图所示，若AB∥CD，则有△AEB∽△DEC。4、”蝴蝶“型如图所示，若∠A=∠C（或∠B=∠D），则有△AEB∽△CED。5、“双垂直”型如图所示，若AC⊥BC，（∠ACB=90°）CD⊥AB，（∠CDB=90°），则有三组相似三角形：①△ADC∽△ACB；②△BDC∽△BCA；③△ADC∽△CDB。双垂直结论：射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。⑴ACD∽△CDB→AD:CD=CD:BD→CD^2=AD·BD；(2)ACD∽△ABC→AC:AB=AD:AC→AC^2=AD·AB;(3)CDB∽△ABC→BC:AC=BD:BC→BC^2=BD·AB;结论1：⑵÷⑶得AC^2：BC^2=AD：BD；结论2：面积法得AB·CD=AC·BC→比例式，证明等积式(比例式)策略。二、证明相似三角形常见的几种方法1、直接法：找同一三角形两条边和两边的夹角；变化为等号同侧的两边是同一三角形中的两条边，“三点定形法”。2、间接法：⑴3种代换：①线段代换；②等比代换；③等积代换；⑵创造条件：①加平行线——创造“A”字型、“8”字型；②先证其它三角形相似——创造边、角条件。相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比（相等）。三、例题讲解例题1、已知在△ABC和△ADE中，∠ABC=∠ADE，求证：AB·AE=AC·AD。分析：判断：本题属于“A‘”型，策略：遇等积，化比例，同侧三点找相似。证明略。例题2、在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，求证：AB·AF=AC·DF。分析：本题属于“A‘”型和“双垂直”型的综合。策略：斜边上面作高线，比例中项一大片，有射影，或平行，等比传递我看行。证明：∵在Rt△BAC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∴Rt△BDA∽Rt△ADC，∴AB:AC=BD:AD,∵在Rt△ADC中，E为AC的中点，∴DE=EC，∴∠EDC=∠C，∵∠FBD=90°+∠C，∠FDA=90°+∠FDB（三角形外角和定理），又∵∠FDB=∠EDC（对顶角相等）∴∠FBD=∠FDA，∴△FBD∽△FDA，（注：∠F是公共角，相似中的“A‘”型）∴BD:AD=DF:AF,∴AB:AC=DF:AF,∴AB·AF=AC·DF。例题3、如图所示，在平行四边ABCD中，E为DC边上的一点，连接BE，交AC于点F，延长BE交AD延长线于点G。求证：BF:FG=EF:BF。解题思路：有射影，或平行，等比传递我看行。证明：略。例题4、如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D、E、F、G为三边上的点，若四边形DEFG为正方形。求证：EF^2=BE·FC。策略：四共线，有等边，必有一条可转换。略证：易证△BDE∽△GFC（相似判定条件：两角对应相等。），则有BE:GF=DE:FC,在正方形DEFG中，有DE=GF=EF,所以可得EF^2=BE·FC。例题5、如图所示，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，求证：AB:AC=BD:CD。（角平分线性质定理）策略：两共线，上下比，两端要作平行线。（注：两共线是指求证中的线段BD和CD共线）证明一：过点D作DE∥AC，交AB于点E，则有△BDE∽△BCA（“A”字型），∵△BDE∽△BCA，∴BE:AB=DE:AC,即AB:AC=BE:DE，又∵DE∥AC∴BD:CD=BE:AE(平行线分线段成比例定理），∠2=∠3，∵AD为∠BAC的角平分线，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴DE=AE,∴AB:AC=BD:CD。证明二：过点C作CF∥AB，交AD延长线于点F，则有△ADB∽△FDC（“8”字型），∵△ADB∽△FDC，∴BD:CD=AB:FC,又∵AD为∠BAC的角平分线，∴∠1=∠2，∵CF∥AB，∴∠1=∠F，∴∠2=∠F,∴AC=CF,∴BD:CD=AB:AC,∴AB:AC=BD:CD。