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后妃保命准则先求保命，再去多杀人：论博弈背后的数学原理

长河网 • 2019-01-22 22:59:25 • 文化 • 阅读 6
本文来自超级数学建模，作者王霄池、王路；有关产业、金融的更多精彩内容，欢迎点击此处， 在生死面前该如何选择 五个囚犯先后从100颗绿豆中抓绿豆，抓得最多和最少的人将被处死，不能交流，可以摸出剩下绿豆的数量，谁的存活几率最大？ 提示： 1、他
原标题：先求保命，再去多杀人：论博弈背后的数学原理本文来自超级数学建模，作者王霄池、王路；有关产业、金融的更多精彩内容，欢迎点击此处，在生死面前该如何选择五个囚犯先后从100颗绿豆中抓绿豆，抓得最多和最少的人将被处死，不能交流，可以摸出剩下绿豆的数量，谁的存活几率最大？提示：1、他们都是很聪明的人；2、他们的原则是先求保命，再去多杀人；3、100颗不必都分完，但要保证每人至少抓一颗；4、若有重复的情况，则也算最大和最小，一并处死。@王霄池：看Matrix67大牛的博客，让我学到了一个思维方式，那就是从最简单的情况开始考虑。在大家开始看答案之前，我必须指出：因为题目中没有“每个人都知道其他人也很聪明”这个条件，所以，不会出现A选96颗豆子这种情形。下面是分析：假设有3个人ABC，10个豆子，其他条件不变。一开始B是非常紧张的，他开始了思考。对他来讲，有上中下三种策略：1.上策：自己活着2.中策：全部死光光3.下策：自己死了，但有其他人活着。然后他就开始预测A的行为：1.A如果拿8颗豆子，B拿1颗豆子，C拿1颗豆子，全死。2.A如果拿7颗豆子，现在轮到B做选择了：a.B如果拿1颗豆子，C不敢拿1颗，必然拿2颗，C独活。b.B如果拿2颗豆子，C只能拿1颗，B独活。c.因为B是个理性人，B这个小婊砸一定会拿2颗。AC死了。3.A如果拿6颗，B就拿3颗；A如果拿5颗，B就拿4颗，都是B独活，AC死。（我真的不是在黑A站）4.B已经找到了规律，那就是，让自己拿的数量在AC之间，就可以保证活。想到此处，他不由得笑出声来。A冷冷的看了他一眼。5.A如果拿4颗，现在轮到B做选择了：a.如果B拿5颗，C只能拿1颗，A独活，BC死。b.如果B拿4颗，C不论拿几颗，都是三人同死。c.如果B拿3颗，C在得知前两人共拿7颗的情况下，选择拿3颗，三人同归于尽。d.如果B拿2颗或1颗，C会选择拿3颗，C独活。AB死。e.B惊奇的发现，不管怎么选，自己都会死。他是不会选择让C这个小婊砸活着的。f.于是B选择了拿3颗。6.A如果拿3颗，B略微思索了一下，也会选择三个人同归于尽。7.A如果拿2颗，B会拿3颗，但是C哈哈一笑（C已经习惯了在B的脑洞中死亡），他不拿5颗，也不拿4颗，也不会拿1颗，他拿了3颗。三人同归于尽。8.A如果拿一颗，那么（感谢@昌俊指正）9.a.B选1颗，3人同死。b.B选2颗，C会选择三人同归于尽。c.B选3颗或以上，C选AB的平均数。AC活，但B死，所以B不会做这个选择。但是A也思考了上述的全部过程，A悲催的发现：如果B很聪明，不管自己怎么选，都是个死。对，你去上面仔细看看，我们已经列举了所有的情况。既然这样，A把希望寄托在B不是很聪明上面，他微微一笑，选了4颗豆子。ABC卒。我们归纳出一个定理：如果3个人有n个豆子，，且A不知道B和C是不是理性的，他可以选择[n/3]，如果ABC三人都是理性的，他们会同归于尽。时光荏苒，有个变态又抓到了4个人，ABCD，然后给了他们20颗豆子。我们继续从如果A拿20颗豆子开始分析。啊，不，还是直接写结论吧。1.当A选择17个时，同归于尽。2.当A选择16到6个时，B活着。A死。3.当A选择5时，B选4，C选4，D选择4和大家同归于尽。4.当A选择4时，B选5，C选4，D选择4和大家同归于尽。5.……6.A发现自己必死。于是他拿了5颗豆子，他寄希望于其他人高尚一些。7.ABCD卒。转眼到了2015年，题主抓住了5个人，给了他们100颗豆子。第一个人深吸一口烟，吐出个烟圈，他拿了20个。====程序员的分割线===后来我又写了个程序，模拟了如下状况：假设所有人都假设其他人的选择是随机的。可能是因为每个人都假设其他人可能是聪明人，笨的人，高尚的人，自私的人，抑郁症患者等。那么在所有的样本空间里（75287520种可能性），做出最有利于自己的选择：100leftforAAwillchose1090leftforBBwillchose1179leftforCCwillchose1168leftforDDwillchose1058leftforEEwillchose10@王路：（忽略第二个要求：他们的原则是先求保命，再去多杀人）数学上的解答，各位大牛已经详尽了。此题还有逻辑上的简便方法。以及，数学之外的思考。题干有个条件：“不能交流”。由于假定每个囚犯都无比聪明，所以交流与否，不影响最终决策。去掉“不能交流”，答案不会有任何变化。当五个囚犯经过推理，都认定自己必死的时候，有人开始琢磨：我的推理，都是建立在个人决策的基础上，假如可以结盟呢？我找两个人结盟，把剩下两个人搞死，不就可以了吗？想到这里，a不禁沾沾自喜，看到了绝处逢生的希望，他对b、c、d、e说：我虽然不能让你们生，但保证能让你们死。（如果我给你们每人留1个，你们都会死。）现在，上头要求至少提供两个死的名额，你们商量出个方案，只要保证我100%不死，我就配合。如果不能保证，谁也活不了。b听了，扭头对c、d、e说：上头要求至少提供两个死的名额，a不能死，我也不能死，你们仨商量具体操作方案。如果谁能让我、a、他都100%不死，同时，又让其他二人无论如何选择都无法左右我们三人的结盟，我和a就照办。如果不存在，你们仨都会死（给你们都留1个）。c对d、e说：上头要求至少提供两个死的名额，a、b、我，都不能死……d、e说：开什么玩笑，你的意思不是让我俩死吗？你们爱谁死谁死！a、b、c恍然发现，结盟的可能并不存在。不存在一种结盟可以保证某人必活。这个结论可以推广：100个囚犯先后从10000颗绿豆中抓绿豆，抓得最多和最少的人将被处死——结果一样：所有人都会死。10000个囚犯先后从100000000颗绿豆中抓绿豆——仍然一样：所有人都会死。围观者曰：开玩笑吧？只是从10000人里挑最少和最多的，竟然每个人都会死，太可怕了吧？答曰：是的。为什么如此残酷？在于假定前提——“每个人都利己，即便不利己，也要损人，损人意味着局部利己。”这样的假定下，唯一的结果就是大家都死。假如世界上每个人都是先求利己，利己不成的情况下求损人的话，世界马上就完蛋，谁也活不了。既然如此，为什么我们现在活得好好的呢？因为真实的世界放松了假定。放松的第一处是：并不是每个人都绝顶聪明。第二处是：每个人也许都想利己，但不是必然要求损人。现在考虑，其他条件不变，一点点放松第二处假定，看结果如何变化：a想：唉，我这么聪明的人，竟然必有一死，既然横竖都是死，别人死不死关我鸟事，随便抓一把，去他娘的！抓了一把，一看：5个。轮到b，b一摸，发现a抓了5个，心想：哟，这家伙居然不是心黑到顶。我最利己的抓法是几个呢？4个。如果我抓4个，c、d、e会抓几个？都是4个。（5、4、4、4、4）结果是，大家都死掉。想到这里，b倒吸了一口冷气：想不到我这么聪明的人，即便a不陷害，也逃不了一死，真是天命、天命啊！随便抓吧。抓了17个。剩下c、d、e，没得选了，出于利己优先的原则，都选平均数，抓11个。（5、17、11、11、11）a、b都死了，后三人活了。这意味着，只要前面两人不存心害人，后面人就能活得很好。但先行者的牺牲是难免的。原始人问现代人：凭啥我们茹毛饮血你们吃香喝辣？现代人说：凭你投胎早啊。原始人说：老子得不到的，孙子们也别想得到。不繁殖了，就没有现代人了。但要注意：b的死亡跟a还不一样。a的死亡，在放松假定后很容易避免。b的死亡，则难以避免，并有最大的悲剧意义。在a随机抓了5个的情况下：假定a抓5个是为保证剩下的绿豆够前人的平均数，正因为有不够平均数的可能，b有能力拯救a。假如b抓的比a多，他一定是因为抓得最多而死掉。假如b抓得比a少，他一定是因为抓得最少而死掉。后来者仅仅出于利己，就会都选平均数。哪怕cde只为利己，不为害人，b都非死不可。a的死看起来和b类似，其实有重要不同。a可以用他的死彰显自己的高尚或卑劣：轮到b时，b发现a抓了96个，破口大骂：王八蛋，自己死就死了，还要拉上俺们垫背！真是烂人！轮到b时，b发现a只抓了1个，感慨万千：好人呐，好人。脱离了低级趣味的人。但是，a抓1个，虽然给其他人留了活命机会，但无论如何救不了b。b最利己的抓法，是抓2个。那么接下来，c、d、e、会毫不犹豫地都抓2个，同时破口大骂：b这个王八蛋！因为（1，2，2，2，2），所有人都要死。如果前两人只抓3个，无论如何，后三人死的责任都在b头上，哪怕a抓2、b抓1，c、d、e也是必死，他们的死，都是b导致的。如果b抓50个就不会令他们都死。b不管怎么抓，自己都得死，而且，没有办法证明自己是个好人。b出于利己抓2反而损害了自己：非但不能活，还招来一堆唾骂。b叹了一口气：既然横竖是死，与其死了挨骂，不如死了有人记得我的好。抓了50个。轮到c，发现筐里剩下45个，掐指一算，ab的平均数是27.5，他毫不犹豫地抓27。轮到d，发现还剩18个，他想抓平均数27，不够了，只好抓了17个。心里对e说：兄弟，对不住了，不是有意要害你，哥哥自身保命要紧。（5、50、27、17、1）b救了a、c、d，牺牲了自己。c并不知道，自己的命是b救的，他抓的时候还怀疑ab分别抓了（28、27）。d也不知道b救了他。e就更不知道了。b的善意没人知道。除了a当a发现自己最终没死的时候，被b感动得痛哭流涕：好兄弟！换言之，如果a足够聪明，他会想到，他的生死，可能决定在b手里。比如：a抓5个，b有办法让a必活（抓90个）。但是，这种决定，需要一个前提，即：b有报恩心态。我们定义一下报恩心态：弱报恩心态：如果别人表现出对我好，在不影响自利的前提下，我选择对他好。强报恩心态：如果别人在可以对我坏的情况下，选择不对我坏，在不影响自利的前提下，如果我可以对他坏或不对他坏，则选择不对他坏。由于报恩心态在世间是真实存在的，所以a存活的几率很大。a只要不杀b，放b一马，b虽知必死，只要有强报恩心态，a就必活。但世间存在的弱报恩心态比较普遍，强报恩心态相对较少。如果我活着，让我对你好当然可以，我都死了，对你好不好我才不在乎呢。换言之，a的存活取决于b是否具备强报恩心态。而bcde是否必死，取决于a是否追求损人。如果，a是个平庸但不卑鄙的人（只追求利己，不追求损人），则在后继者b有强报恩心态的情况下，会享受到先行者的红利。否则，a会成为死在沙滩上的前浪。所以，在真实的社会模型中（利己但未必损人的假定下），a一定不会选择抓96，让所有人都死掉。而b，无论如何，既无法享受先行者的红利，也无法避开后继者的迫击，后人仅仅出于自利就会把他弄死。除了先行者感谢他的不杀之恩外，没有人念他的好。我们可以把这叫做：“老二的悲剧”。现在假定，a是高尚的人。先给高尚一个定义：弱高尚：如果可以自利，就自利。如果不能自利，利人也好。这个定义并不严密，因为有时候自利牵涉到损人，严密的定义太复杂，故从略。另外，报恩心态，也算是弱高尚的一个具体例子。强高尚：利人和自利无区别。强高尚在世人身上鲜少存在，一般只存在于有血缘关系的近亲或有宗教信仰的人身上。弱高尚则相对普遍。假定a是弱高尚的人，他意识到，在世界上不存在其他高尚的人的情形下，自己难逃一死。既然横竖都是死，不如，做个高尚的人。a选择只抓1个。这就意味着，a以一己之力，让全世界牺牲的概率最小。但，这仅仅是概率，a的力量有限，他还需要另一个人的成全。假如b是庸俗的人，会选抓2个。c、d、e都是庸俗的人，都只抓2个。（1，2，2，2，2）全都死掉。a虽然愿意拯救世界，但落空了。但只要，b、c、d、e里，有一个人，愿意抓50个，就能救所有的人，除了自己和a。a的死，是求仁得仁，自己的死，是舍生取义。因为有两人选择主动牺牲，其他人都可以得救。假如70亿人，先后从1000亿绿豆中抓绿豆，最多的和最少的会死掉的话，只要存在2个以上高尚的人，世界就会得救。地藏菩萨云：地狱不空，誓不成佛。我们所处的世界并非不险恶，不逐利。但之所以没有塌陷，还能支撑许多庸凡的人平静地生活，正因为有聪明绝顶的人，在觉悟了世界的冰冷和绝望之后，自甘做出牺牲来消融世界的冰。责任编辑：

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